1 \documentclass{article}

2 \usepackage[utf8x]{inputenc}

3 \usepackage[english,russian]{babel}

4 \usepackage{mflogo}

5 \usepackage{listings}

6

7 \lstdefinelanguage[guile]{Scheme}

8 {morekeywords={define,let,map,lambda,if,cond,or,and,else},

9 morecomment=[l]{;},

10 morestring=[b]{"}}

11 \lstset{mathescape=true}

12 \lstset{language=[guile]Scheme}

13 %\lstset{numbers=left,stepnumber=10,numberblanklines=false}

14 \lstset{basicstyle=\footnotesize}

15 \lstset{frame=tb,frameround=ffff}

16 \lstset{breaklines=true,breakautoindent=true}

17

18 \newcommand{\filename}[1]{\texttt{#1}}

19 \newcommand{\procname}[1]{\texttt{#1}}

20 \newcommand{\includeplot}[2]{\begin{figure}[hb]

21 \centering

22 \includegraphics{#1__#2-plot.mps}

23 \caption{График $u(x)$ для функции преломления \eqref{#2-initial-data}}

24 \end{figure}}

25 \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}

26 \renewcommand{\phi}{\varphi}

27 \providecommand{\abs}[1]{\left \lvert{#1}\right \rvert}

28 \providecommand{\op}[1]{\mathrm{#1}}

29 \providecommand{\comp}{\circ}

30

31 \usepackage{amsmath,amssymb}

32

33 \usepackage{graphics}

34

35 \DeclareGraphicsExtensions{.mps,.pdf,.eps}

36 \DeclareGraphicsRule{.scm-plot.mps}{mps}{*}{}

37 \DeclareGraphicsRule{.scm-all-plots.mps}{mps}{*}{}

38

39 \numberwithin{equation}{section}

40

41 \begin{document}

42

43 \author{Дмитрий Джус}

44 \title{Курсовая работа по теме\\ «Обыкновенные дифференциальные уравнения»}

45 \maketitle

46 \thispagestyle{empty}

47

48 \clearpage

49 \tableofcontents

50

51 \clearpage

52 \part{Постановка задачи}

53

54 \section{Математический аспект}

55

56 Настоящая курсовая работа посвящена построению приближённого решения

57 краевой задачи для дифференциального уравнения вида

58

59 \begin{equation}\label{deq}

60 \frac{d^2 u}{dx^2} + n(x) u(x) = 0

61 \end{equation}

62

63 По условию, $n(x)$ представляет собой кусочно-непрерывную функцию,

64 равную константе $k^2$ на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(a; +\infty)$ и

65 непрерывной известной функции на $[0; a]$. На границах $[0; a]$

66 решение и его первая производная должны удовлетворять условиям

67 сшивания:

68

69 \begin{subequations}\label{conds}

70 \begin{align}

71 u(0-0)& = u(0+0)&

72 u'(0-0)& = u'(0+0)&\label{conds-left} \\

73 u(a-0)& = u(a+0)&

74 u'(a-0)& = u'(a+0)&\label{conds-right}

75 \end{align}

76 \end{subequations}

77

78 \section{Физический аспект}

79

80 Задача соответствует возбуждения плоского слоя неоднородной

81 немагнитной среды электромагнитным полем, вектор электрического поля

82 распространяется вдоль оси $x$. $k$ имеет смысл волнового числа в

83 однородной части пространства, $n(x)$ — показатель преломления

84 неоднородной среды.

85

86 Из физических соображений, решение справа от слоя $[0; a]$ должно

87 иметь вид $u(x) = Be^{ikx}$, а слева — $u(x) = e^{ikx} +

88 Ae^{-ikx}$. Задача состоит в приближённом построении решения внутри

89 неоднородного слоя и отыскании комплексных констант $A$ и $B$

90 (называемых, соответственно, коэффициентами отражения и прохождения

91 электромагнитного поля).

92

93 Действительная область значений функции $n(x)$ соответствует

94 отсутствию поглощения энергии в среде, так что критерием правильности

95 полученных приближённых значений служит энергетическое тождество:

96

97 \begin{equation}\label{energy}

98 \abs{A}^2 + \abs{B}^2 = 1

99 \end{equation}

100

101 \clearpage

102 \part{Решение}

103

104 \section{Общие замечания}

105

106 Предлагаемые к реализации в курсовой работае приближённые методы были

107 описаны на алгоритмическом языке Scheme (простом и строго

108 функциональном диалекте Лиспа).

109

110 \section{Решение методом построения фундаментальной матрицы}

111

112 \subsection{Описание}

113

114 Дифференциальное уравнение второго порядка \eqref{deq} можно представить

115 в матричной форме, введя $v(x) = \frac{du}{dx}$:

116

117 \begin{equation}\label{mdeq}

118 \frac{d}{dx}

119 \begin{pmatrix}

120 u(x) \\

121 v(x)

122 \end{pmatrix}

123 = \begin{pmatrix}

124 0 & 1 \\

125 -n(x) & 0

126 \end{pmatrix}

127 \begin{pmatrix}

128 u(x) \\

129 v(x)

130 \end{pmatrix}

131 \end{equation}

132

133 Решение системы \eqref{mdeq} с матрицей $A(x) = \bigl( \begin{smallmatrix} 0

134 & 1 \\ -n(x) & 0 \end{smallmatrix} \bigr)$ можно найти в общем виде, если

135 построена фундаментальная матрица $\Omega(x)$:

136

137 \begin{equation}\label{fm}

138 \Omega(x) = \begin{pmatrix}

139 \omega_{11}(x) & \omega_{12}(x) \\

140 \omega_{21}(x) & \omega_{22}(x)

141 \end{pmatrix}

142 \end{equation}

143

144 $\Omega(x)$ является решением следующей матричной задачи Коши:

145

146 \begin{equation}\label{fmeq}

147 \frac{d}{dx} \Omega(x) = A(x) \Omega(x)

148 \end{equation}

149

150 с условием $\Omega(0) = \bigl( \begin{smallmatrix} 1& 0\\ 0&

151 1\end{smallmatrix} \bigr)$.

152

153 Решение \eqref{mdeq} для $\forall x \in [0; a]$ записывается в виде

154

155 \begin{equation}\label{fmsolution}

156 \begin{pmatrix}

157 u(x) \\

158 v(x)

159 \end{pmatrix} =

160 \begin{pmatrix}

161 \omega_{11}(x) & \omega_{12}(x) \\

162 \omega_{21}(x) & \omega_{22}(x)

163 \end{pmatrix}

164 \begin{pmatrix}

165 1 + A \\

166 ik(1 - A)

167 \end{pmatrix}

168 \end{equation}

169

170 Использование краевых условий \eqref{conds} позволяет получить

171 следующую линейную алгебраическую систему относительно неизвестных $A$

172 и $B$:

173

174 \begin{equation}\label{abeq}

175 \begin{split}

176 (\omega_{11}(a) - \omega_{12}(a) ik) A - e^{ika} B &= -ik

177 \omega_{12}(a) - \omega_{11}(a) \\

178 (\omega_{21}(a) - \omega_{22}(a) ik) A - ike^{ika} B &= -ik

179 \omega_{22}(a) - \omega_{21}(a)

180 \end{split}

181 \end{equation}

182

183 Нахождение значений компонентов матрицы $\Omega$ на правом конце $[0;

184 a]$, таким образом, позволит получить искомые значения $A$ и $B$.

185

186 Для поиска фундаментальной матрицы в точках $[0; a]$ предлагается

187 использование следующего численного метода, основанного на приближении

188 функции $n(x)$ кусочно-постоянной, то есть замене неоднородной среды

189 на плоско-слоистую с большим числом однородных слоёв.

190

191 Рассматриваемый интервал разбивается на $N$ интервалов точками

192 $x_i = \frac{a}{N}i$, $i = 1 \dotso N$, в середине каждого из

193 которых берётся точка $\overline{x_i} = \frac{a}{N}(i+\frac{i}{2})$. В

194 данной точке функция $n(x)$ аппроксимируется ступенчатой функцией

195 $\overline{n}(x) = n(\overline{x_i})$, так что \eqref{mdeq} обращается

196 в систему с постоянной матрицей $A_i = \bigl(

197 \begin{smallmatrix}0& 1 \\ -\overline{n}(x)& 0 \end{smallmatrix}

198 \bigr)$. Тогда на каждом интервале $[x_i; x_{i+1}]$ решение

199 \eqref{fmeq} может быть найдено явно в виде матричной экпоненты:

200

201 \[

202 \Omega_i(x) = e^{A_i (x - x_i)}

203 \]

204

205 При этом, значения фундаментальной матрицы $\Omega_N(x_{i+1})$ на

206 правом конце $[x_i; x_{i+1}]$ служат начальным условием задачи Коши на

207 $[x_{i+1}; x_{i+2}]$, так что для каждой точки $\hat{x} \in [x_i;

208 x_{i+1}]$ фундаментальная матрица \eqref{fm} имеет вид:

209

210 \begin{equation}\label{fmx}

211 \Omega_N(\hat{x}) = e^{A_i(\hat{x}-x_i)} e^{A_{i-1}(x_i-x_{i-1})} \dotsm e^{A_0(x_1-x_0)}

212 \end{equation}

213

214 На правом конце интервала $[0; a]$ приближённая фундаментальная

215 матрица записывается в виде:

216

217 \begin{equation}\label{fma}

218 \Omega_N(a) = e^{A_{N-1}(x_N-x_{N-1})} e^{A_{N-2}(x_{N-1}-x_{N-2})} \dotsm e^{A_0(x_1-x_0)}

219 \end{equation}

220

221 Для нахождения матричной экспоненты используется формула Тейлора:

222

223 \begin{equation}\label{matrix-exp}

224 \begin{split}

225 e^{A_i(x-x_i)} \approx E +& \frac{1}{1!}{A_i(x-x_i)} +

226 \frac{1}{2!}{A_i^2(x-x_i)^2}\\

227 +& \frac{1}{3!}{A_i^3(x-x_i)^3} + \frac{1}{4!}{A_i^4(x-x_i)^4}

228 \end{split}

229 \end{equation}

230

231 После построения фундаментальной матрицы в $a$ коэффициенты $A$ и $B$

232 находятся из \eqref{abeq} с использованием полученных компонент

233 $\omega_{ij}^N(a)$.

234

235 Решение на каждом отрезке разбиения $[0; a]$ находится из

236 \eqref{fmsolution} с использование найденного $A$ и последовательности

237 приближений фундаментальной матрицы на $[x_i; x_{i+1}]$ для $\forall

238 i$.

239

240 \clearpage

241 \subsection{Реализация}

242

243 Описание основных процедур, необходимых для реализации метода,

244 находится в файле \filename{fundmatrix-solution.scm} (его полное содержание

245 приведено на странице \pageref{fundmatrix-solution.scm-full-listing}).

246

247 В исходном тексте программы активно используются последовательные

248 определения функций в терминах друг друга.

249

250 Так, основной вычислительный процесс метода — построение приближений

251 фундаментальной матрицы — выражен в функции

252 \procname{build-fundamentals}:

253

254 \input{build-fundamentals__fundmatrix-solution.scm-tag-listing}

255

256 \procname{build-fundamentals} представляет последовательность вычислений

257 фундаментальной матрицы на интервалах $[x_i; x_{i+1}]$ в виде частного

258 случая функции \procname{evolve-sequence}, возвращающей

259 последовательность $a_{s_1}, \dotsc, a_{s_n}$, где $a_{s_k} =

260 f(a_{s_{k-1}}, s_{k-1})$

261 (см. с. \pageref{shared.scm-full-listing}). Из определения

262 \procname{build-fundamentals} видно, что роль $s_k$ выполняют точки $x_i

263 = \frac{a}{N}i$ с $i = 1 \dotso N$, а $a_{s_{k-1}}$ — приближение

264 фундаментальной матрицы на предыдущем отрезке (на первом шаге

265 $\Omega_N$ приближается единичной матрицей). Комбинируются же эти

266 значения при помощи матричного умножения, как следует из \eqref{fmx}.

267

268 Функция \procname{variable-matrix} возвращает матрицу $A$ системы

269 \eqref{mdeq} для заданной по условию функции $n(x)$:

270

271 \input{variable-matrix__fundmatrix-solution.scm-tag-listing}

272

273 Возвращённая матрица потом используется в \procname{build-fundamentals}.

274

275 В \procname{build-fundamentals} используется и функция

276 \procname{matrix-exp}, вычисляющая матричную

277 экспоненту $f(x, y, z) = e^{A(x)(y-z)}$ путём разложения в ряд Тейлора

278 \eqref{matrix-exp} с использованием схемы Горнера:

279

280 \input{matrix-exp__matrices.scm-tag-listing}

281

282 В этой функции последовательность коэффициентов матричного многочлена

283 $\frac{1}{0!}, \frac{1}{1!}, \frac{1}{2!}, \dotsc$ генерируется

284 функцией \procname{exp-series-coefficients},

285 выраженной в терминах вышеупомянутой \procname{evolve-sequence}.

286

287 Вычисление матричной экспоненты в каждой точке выражено через

288 функцию высшего порядка \procname{general-horner-eval}, представляющую

289 собой обобщённую схему Горнера:

290

291 \input{general-horner-eval__shared.scm-tag-listing}

292

293 \procname{general-horner-eval}, в свою очередь, является частным случаем

294 функции высшего порядка \procname{fold-right}, реализующей свёртку

295 последовательности справа налево.

296

297 После построения последовательности фундаментальных матриц

298 осуществляется поиск коэффициентов $A, B$ путём решения системы

299 \eqref{abeq} с помощью метода Гаусса\nocite{bahvalov01} (его исходный код приведён на

300 странице \pageref{gauss.scm-full-listing}):

301

302 \input{find-A-B__fundmatrix-solution.scm-tag-listing}

303

304 С использованием найденного коэффициента $A$ и приближений из

305 \procname{build-fundamentals} в функции

306 \procname{approximate-solution} согласно \eqref{fmsolution}

307 рассчитывается и приближённое решение исходного уравнения \eqref{deq}

308 внутри неоднородного слоя:

309

310 \input{approximate-solution__fundmatrix-solution.scm-tag-listing}

311

312 Функция высшего порядка \procname{iterative-improve} выражает один из

313 подходов к решению вычислительных задач: улучшать начальное решение

314 при помощи заданной «функции улучшения» до тех пор, пока его не можно

315 будет считать «хорошим» в смысле заданной функции оценки решения:

316

317 \input{iterative-improve__shared.scm-tag-listing}

318

319 Так, в данном методе процедура построения фундаментальных матриц

320 повторяется до тех пор, пока вычисляемые коэффициенты отражения и

321 прохождения не будут удовлетворять \eqref{energy}:

322

323 \input{get-solution__fundmatrix-solution.scm-tag-listing}

324

325 Интересно, что второй метод решения поставленной задачи, о котором

326 рассказано далее, также определяет сходную функцию

327 \procname{make-solution} в виде частного случая

328 \procname{iterative-improve}.

329

330 Функцией улучшения является двукратное увеличение числа отрезков

331 разбиения интервала $[0;a]$ с последующим построением фундаментальных

332 матриц, решения и нахождения $A$, $B$, а проверка «качества»

333 полученного решения осуществляется при помощи предиката

334 \procname{energy-conserves?}:

335

336 \input{energy-conserves?__shared.scm-tag-listing}

337

338 \clearpage

339

340 \subsection{Исходные данные}

341 \input{statement.scm-initial-data}

342

343 В терминах Scheme она задаётся следующим образом:

344

345 \input{f__statement.scm-tag-listing}

346

347 \subsection{Результаты}

348

349 \input{fundmatrix__statement.scm-results}

350

351 \includeplot{fundmatrix}{statement.scm}

352

353 \clearpage

354

355 \subsubsection{Результат вычислений с альтернативным набором исходных данных}

356

357 Метод построения фундаментальных матриц применим в задачах с более

358 сложными выражениями для $n(x)$ (но требуется, чтобы $n(x)$ была

359 непрерывной внутри $[0;a]$). Далее представлены результаты работы

360 с иными, нежели в предыдущем разделе, данными.

361

362 \input{exo-statement.scm-initial-data}

363

364 \input{fundmatrix__exo-statement.scm-results}

365

366 \includeplot{fundmatrix}{exo-statement.scm}

367

368 \clearpage

369

370 \section{Решение методом последовательных приближений}

371

372 \subsection{Описание}

373

374 Уравнение \eqref{deq} можно переписать в следующем виде:

375

376 \begin{equation}\label{ndeq}

377 \frac{d^2u}{dx^2} + k^2 u(x) = (k^2 - n(x)) u(x)

378 \end{equation}

379

380 Где $k^2$ — значение функции вне интервала $[0; a]$.

381

382 Для такого уравнения известна функция Грина:

383

384 \[

385 G(x, t) = \frac{e^{ik\abs{x-t}}}{2ik}

386 \]

387

388 Так что решение \eqref{ndeq} выписывается в таком виде:

389

390 \[

391 u(x) = \int \limits_{-\infty}^{+\infty} {\frac{e^{ik\abs{x-t}}}{2ik} (k^2-n(t))

392 u(t) dt}

393 \]

394

395 В силу свойств функции $n(x)$, при $x < 0$ и $x > a$ имеем $(k^2 -

396 n(x)) \equiv 0$, так что несобственный интеграл можно заменить на

397 интеграл в конечных пределах от $0$ до $a$:

398

399 \[

400 u(x) = \int \limits_{0}^{a} {\frac{e^{ik\abs{x-t}}}{2ik} (k^2-n(t))

401 u(t) dt}

402 \]

403

404 Кроме того, если раскрыть модуль в показателе $e$ для $x<0$ и $x>a$,

405 то станет ясно, что выписанное решение содержит волны, уходящие в

406 $+\infty$ и $-\infty$. Так как постановка задачи содержит волну

407 $e^{ikx}$, приходящую из минус бесконечности, полное поле во всей

408 области от $-\infty$ до $+\infty$ имеет следующий вид:

409

410 \begin{equation}\label{inteq}

411 u(x) = \int \limits_{0}^{a} {\frac{e^{ik\abs{x-t}}}{2ik} (k^2-n(t))

412 u(t) dt} + e^{ikx}

413 \end{equation}

414

415 Сокращённо это интегральное уравнение Фредгольма второго рода

416 записывается в таком виде:

417

418 \begin{equation}\label{inteq-short}

419 u = \op{A}u + f

420 \end{equation}

421

422 Где $\op{A}$ — интегральный оператор $\int_{0}^{a}

423 {\frac{e^{ik\abs{x-t}}}{2ik} (k^2-n(t)) u(t) dt}$, который действует на

424 функцию $u(x)$.

425

426 При $x < 0$ решение имеет вид:

427

428 \[

429 u(x) = \frac{e^{-ikx}}{2ik} \int \limits_{0}^{a} {e^{ikt} (k^2-n(t))

430 u(t) dt} + e^{ikx}

431 \]

432

433 Откуда можно получить выражение для коэффициента $A$:

434

435 \begin{equation}\label{int-A}

436 A = \frac{1}{2ik} \int \limits_{0}^{a} {e^{ikt} (k^2-n(t)) u(t) dt}

437 \end{equation}

438

439 Аналогично получается следующее выражение и для коэффициента $B$:

440

441 \begin{equation}\label{int-B}

442 B = \frac{1}{2ik} \int \limits_{0}^{a} {e^{-ikt} (k^2-n(t)) u(t) dt} + 1

443 \end{equation}

444

445 Построение решения $u(x)$ производится при помощи метода

446 последовательных приближений\nocite{polyanin03}. Решение

447 \eqref{inteq-short} представим в таком виде:

448

449 \[

450 u = u_0 + u_1 + u_2 + \dotsb

451 \]

452

453 Его подстановка в \eqref{inteq-short} даёт следующее:

454

455 \[

456 u_0 + u_1 + u_2 + \dotsb = \op{A}u_0 + \op{A}u_1 +

457 \op{A}u_2 + \dotsb + f

458 \]

459

460 Если положить $u_0=f, u_1=\op{A}u_0, \dotsc, u_{n+1}=\op{A} u_n$, то

461 таким выбором последовательных приближений это уравнение будет

462 тождественно удовлетворено.

463

464 После нахождения $u(x)$ коэффициенты $A$ и $B$ вычисляются из

465 \eqref{int-A} и \eqref{int-B}, соответственно.

466

467 \clearpage

468 \subsection{Реализация}

469

470 Для обеспечения работы программы с широким диапазоном исходных данных

471 — различных функций $n(x)$ — интегрирование \eqref{inteq}

472 осуществлялось \emph{численно} по формуле Симпсона.

473

474 Подинтегральная функция зависит от двух переменных $x$, $t$, а

475 интегрирование производится по $t$. Используемая функция

476 \procname{integrate} возвращает $g(x) = \int_a^b{f(x, t) dt}$,

477 применяя формулу Симпсона так:

478

479 \begin{equation}\label{simpson}

480 \begin{split}

481 \int \limits_a^b {f(x, t) dt} = \frac{h}{3}

482 (f(x, a) + 4 (f(x, t_1) + f(x, t_3) + \dotsb + f(x, t_{n-1})) + \\

483 + 2 (f(x, t_2) + f(x, t_4) + \dotsb + f(x, t_{n-2})) + f(x, b))

484 \end{split}

485 \end{equation}

486

487 Здесь $n = 2k, k \in \mathbb{Z},\ h = (b-a)/n,\ t_k = a+kh$.

488

489 \procname{integrate} осуществляет интегрирование функции, переданной

490 ей в качестве параметра, по второму её аргументу:

491

492 \input{integrate__iterative-solution.scm-tag-listing}

493

494 Функция \procname{integrate} выражает идею интегрирования функции двух

495 переменных в общем виде. Для вычисления \eqref{inteq} требуется

496 использовать приближение функции $u(x)$ и данную по условию функцию

497 $n(x)$ в выражении $f(x,t) = e^{ik|x-t|}(k^2-n(t))u(t)$, которое и

498 будет интегрироваться (постоянный множитель $1/2ik$ выносится из под

499 интеграла). Требуемое сопоставление выполняет функция

500 \procname{green-transform}:

501

502 \input{green-transform__iterative-solution.scm-tag-listing}

503

504 Причём эта функция представлена в виде частного случая более общей

505 процедуры \procname{green-subtransform}, выполняющей преобразование

506 своих трёх аргументов-функций $u(t), n(t), g(x, t)$ в функцию двух

507 аргументов $f(x,t) = e^{ik \cdot g(x, t)}(k^2-n(t))u(t)$:

508

509 \input{green-subtransform__iterative-solution.scm-tag-listing}

510

511 Тогда при $g(x, t) \equiv \abs{x-t}$ получим подинтегральную функцию

512 из \eqref{inteq}, а при $g(x, t) \equiv -t$ — из выражения для

513 коэффициента $B$ \eqref{int-B}.

514

515 Функция \procname{green-integrate}, используя описанные

516 \procname{green-transform} и \procname{integrate}, выполняет

517 интегрирование \eqref{inteq}, принимая функции $u(x), n(x)$ и правый

518 край отрезка $a$ в качестве аргументов. В сущности,

519 \procname{green-integrate} представляет в терминах Scheme оператор

520 $\op{A}$ из \eqref{inteq-short}:

521

522 \input{green-integrate__iterative-solution.scm-tag-listing}

523

524 В этой функции также осуществляется деление результата интегрирования

525 на константу $2ik$.

526

527 Стоит заметить, что процедура \procname{integrate} (и, следовательно,

528 \procname{green-integrate}) возвращает не число, а

529 \emph{функцию}. Вычисление значения этой функции в любой точке $x_0$

530 порождает свёртку интервала $[0; a]$ в эту точку. Таким образом,

531 последовательное применение \procname{green-integrate} порождает

532 функцию, вычисление значения которой породит последовательность

533 вложенных свёрток на интервале $[0; a]$.

534

535 \subsubsection{Применимость метода}

536 \label{iter-converge}

537

538 Сходимость ряда последовательных приближений $u = u_0 + \op{A} u_0 +

539 \op{A}^2 u_0 \dotsb$ обеспечивается наличием константы $1/2ik$

540 перед интегралом \eqref{inteq}, если данные $a, n(x), k$ таковы, что

541 для $M=\max(k^2-n(x_0))$ выполняется:

542

543 \begin{equation}\label{iter-converge-cond}

544 \frac{Ma}{2k}<1

545 \end{equation}

546

547 В случаях, когда исходные данные не удовлетворяют этому условию, ряд

548 приближений разойдётся и получить решение не удастся, в то время как

549 при помощи фундаментальных матриц за приемлемое время решаются

550 уравнения в системах, где \eqref{iter-converge-cond} не выполняется.

551

552 Исходные данные (функция $n(x)$), предлагаемые к использованию в

553 настоящей курсовой работе, специально подобраны таким образом, чтобы

554 \eqref{iter-converge-cond} заведомо выполнялись.

555

556 \subsubsection{Эффективность реализации}

557

558 Высокий уровень применяемой абстракции и простота реализации метода

559 негативным образом сказываются на эффективности: создаваемая

560 последовательным действием \procname{green-integrate} композиция

561 свёрток — функция, вычисление которой в каждой точке требует большого

562 количества операций.

563

564 Сложность \procname{iterative-solve} по элементарным операциям

565 \procname{integrate} экспоненциально растёт с увеличением числа

566 применений оператора $\op{A}$ к начальному приближению.

567

568 При $u_k(x) = \underbrace{\op{A} \comp \dotsb \comp \op{A}}_k\ \comp\ u_0(x)$ для

569 вычисления значения $u_k(x_0)$ \emph{в любой точке} $x_0$ потребуется

570 выполнение $m^k$ операций, где $m$ — постоянное число элементарных

571 операций сложения, умножения в процедуре \procname{integrate},

572 зависящее от количества разбиений для интегрирования функции на $[0;

573 a]$).

574

575 Учитывая построение \emph{последовательных} приближений, то есть

576 последовательное вычисление $A \comp e^{ikx},\ A \comp A \comp

577 e^{ikx},\ A \comp A \comp A \comp e^{ikx},\dotsc$, количество

578 выполняемых операций таково, что описываемый подход к реализации

579 метода очевидно не может реально применяться на практике в расчётных

580 задачах в силу низкой эффективности.

581

582 \subsubsection{Другие подходы к реализации метода}

583

584 \paragraph{Символьное интегрирование}

585

586 Интеграл \eqref{inteq} может быть вычислен по формуле

587 Ньютона-Лейбница, если известна первообразная подинтегральной

588 функции. Её поиск в явном виде составляет задачу символьного

589 неопределённого интегрирования.

590

591 Интегрирование элементарных функций и их простых сочетний является

592 решаемой алгоритмически задачей, которая, однако, не является

593 тривиальной (по причинам, в большей степени относящейся к общим

594 сложностям представления алгебраических выражений на

595 компьютере). Сложные выражения под знаком интеграла приводят к

596 непростым заменам, преобразованиям и приёмам. Интеграл может и не

597 браться в явном виде.

598

599 Символьное интегрирование потенциально даёт значительно большие

600 преимущества, чем численное, но сравнительно сложнее в

601 реализации. Описанная же ранее численная реализация метода

602 последовательных приближений представляет собой почти дословный

603 перевод словесного описания в термины Лиспа.

604

605 \paragraph{Использование готового выражения первообразной}

606

607 Первообразная $e^{ik\abs{x-t}}(k^2-n(t))u(t)$ по $t$ может быть

608 получена сторонними средствами — в другой программе или вручную (что

609 является единственным универсальным и наиболее гибким методом

610 интегрирования). По затратам на количество операций, выполняемых на

611 стороне описываемой в настоящей работе программы, этот подход наиболее

612 эффективен, поскольку сводит задачу нахождения интеграла к совсем

613 элементарным операциям.

614

615 \clearpage

616 \subsection{Результаты}

617

618 Исходные данные к задаче приведены в разделе

619 \ref{statement.scm-initial-data} на странице

620 \pageref{statement.scm-initial-data}.

621

622 \input{iterative__statement.scm-results}

623

624 \includeplot{iterative}{statement.scm}

625

626 \clearpage

627 \section{Решение методом коллокации}

628 \subsection{Описание}

629 Рассмотрим данное по условию дифференциальное уравнение \eqref{deq}:

630

631 \begin{equation}\label{inteq-eps}

632 \epsilon [u(x)] = u'' + n(x) u(x) = 0

633 \end{equation}

634

635 Будем искать его решение в виде

636

637 \begin{equation}\label{colloc-approx}

638 U_n(x) = \phi_0(x) + \sum_{m=1}^n{C_m \phi_m(x)}

639 \end{equation}

640

641 Здесь $\phi_m(x)$ — система линейно независимых \emph{базисных}

642 функций. Подставив \eqref{colloc-approx} в \eqref{inteq-eps}, получим

643 невязку $\epsilon [U_n(x)]$:

644

645 \[

646 \epsilon[U_n(x)]=\left [\phi_0(x)+\sum_{m=1}^n{C_m \phi_m(x)} \right

647 ]''+

648 n(x){\left [\phi_0(x)+\sum_{m=1}^n{C_m \phi_m(x)} \right ]}

649 \]

650

651 или

652

653 \begin{equation}\label{colloc-eps}

654 \epsilon[U_n(x)]=\psi_0(x)+\sum_{m=1}^n{C_m \psi_m(x)}

655 \end{equation}

656

657 где

658

659 \begin{align*}

660 \psi_0(x)& =\phi_0''(x) + n(x) \phi_0(x) \\

661 \psi_m(x)& =\phi_m''(x) + n(x) \phi_m(x)

662 \end{align*}

663

664 Метод коллокации предполагает поиск значений $C_m$ таких, что

665 \eqref{inteq-eps} обращается в 0 в заданной системе из $n$ \emph{точек

666 коллокации} $0 \leq x_1 < \dotsb < x_n \leq a$ принадлежащих

667 рассматриваемому отрезку $[0;a]$:

668

669 \begin{equation}

670 \epsilon[U_n(x_j)] = 0,\qquad j = 1 \dotso n

671 \end{equation}

672

673 Используя \eqref{inteq-eps} получаем систему из $n$ линейных уравнений

674 для определения значений $C_m$:

675

676 \begin{equation}\label{colloc-system}

677 \sum_{m=1}^n{C_m\psi_m(x_j)} = -\psi_0(x_j),\qquad j = 1 \dotso n

678 \end{equation}

679

680 В случае совместности \eqref{colloc-system} найденные коэффициенты

681 $C_m$ используются в выражении для приближённого решения

682 \eqref{colloc-approx}.

683

684 \subsubsection{О выборе системы базисных функций}

685 В уравнении \eqref{colloc-eps} члены $\psi_0(x)$ и $\psi_m(x)$

686 разделены не случайно: при выборе системы $\phi_k$ (а значит и

687 $\psi_k$) требуется учитывать набор краевых условий \eqref{conds}.

688

689 Метод коллокации требует от первой базисной функции $\phi_0(x)$

690 удовлетворения набору неоднородных краевых условий \eqref{conds}, а от

691 $\phi_m(x),\ m>0$ — удовлетворения соответствующим однородным краевым

692 условиями.

693

694 \subsection{Реализация}

695

696 \clearpage

697 \subsection{Результаты}

698

699 \clearpage

700 \section{Сопоставление результатов}

701

702 Сравнение результатов вычислений для одних и тех же исходных данных

703 (см. с. \pageref{statement.scm-initial-data}) при помощи различных

704 методов — построением фундаментальной матрицы и решением интегрального

705 уравнения последовательными приближениями — позволяет проверить

706 корректность реализации обоих методов:

707

708 \begin{figure}[hb]

709 \centering

710 \includegraphics{statement.scm-all-plots.mps}

711 \caption{Графики решения для \eqref{statement.scm-initial-data},

712 полученные двумя разными методами}

713 \end{figure}

714

715 \clearpage

716 \appendix

717 \part{Исходные тексты}

718 \section{Общие файлы}

719 \input{shared.scm-full-listing}

720 \input{matrices.scm-full-listing}

721 \input{gauss.scm-full-listing}

722

723 \clearpage

724 \section{Реализации методов решения}

725 \subsection{Метод построения фундаментальной матрицы}

726

727 \input{fundmatrix-solution.scm-full-listing}

728

729 \clearpage

730 \subsection{Метод последовательных приближений}

731

732 \input{iterative-solution.scm-full-listing}

733

734 \clearpage

735 \subsection{Метод коллокации}

736

737 \clearpage

738 \section{Диспетчер}

739

740 \input{dispatcher.scm-full-listing}

741

742 \clearpage

743 \part{Информация о документе}

744

745 Данный документ был подготовлен с использованием \LaTeX{}.

746

747 Для автоматизации сборки отчёта о курсовой работе применялась

748 сборочная система \texttt{GNU Make}. Для извлечения определений

749 процедур из исходного кода использовались сценарии командной оболочки

750 и \texttt{GNU Emacs}. С их же помощью был автоматизирован процесс

751 включения результата расчётов в курсовую работу. Графики решений были

752 построены по данным, предоставленным расчётной программой, при помощи

753 средств \MP.

754

755 Для автоматического определения зависимостей

756 \LaTeX{}-файла использовалась утилита \texttt{texdepend}.

757

758 \nocite{demidovich67}

759

760 \bibliographystyle{gost780s}

761 \bibliography{report}

762

763 \end{document}